3 aplicaciones de la integral

3 aplicaciones de la integral

Aplicación de la integración área entre curvas

En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezamos encontrando el área entre dos curvas que son funciones de \(\displaystyle x\), empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, estudiamos los casos en que las gráficas de las funciones se cruzan. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de \(\displaystyle y\).

Sean \(\displaystyle f(x)\N y \(\displaystyle g(x)\Nfunciones continuas sobre un intervalo \N(\displaystyle [a,b]\Nde tal forma que \Nf(\displaystyle f(x)≥g(x)\Nen \Nla curva [a,b]\Nde [a,b]\Ny.) Queremos encontrar el área entre las gráficas de las funciones, como se muestra en la Figura \(\PageIndex{1}\).

Figura \N(\NPageIndex{2}\N): (a)Podemos aproximar el área entre las gráficas de dos funciones, \(\nmuestra f(x)\nmuestra) y \nmuestra g(x)\nmuestra), con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra.

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Aplicación de la ecuación integral en la vida real

Este artículo trata del concepto de integral definida en cálculo. Para la integral indefinida, véase antiderivada. Para el conjunto de números, véase entero. Para otros usos, véase Integral (desambiguación).

En matemáticas, una integral asigna números a las funciones de manera que describe el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. Junto con la diferenciación, la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo,[a] y sirve como herramienta para resolver problemas en matemáticas y física que implican el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.

Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas, que pueden interpretarse como el área con signo de la región del plano limitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real. Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas, mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también hacen referencia al concepto de antiderivada, una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se llaman integrales indefinidas. El teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.

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Aplicación de la integral definida en ingeniería

En esta sección, examinaremos algunas aplicaciones físicas de la integración. Empezaremos con un vistazo al cálculo de la masa a partir de una función de densidad. A continuación, centramos nuestra atención en el trabajo, y cerramos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática.

Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa a partir de una función de densidad. En primer lugar, consideraremos una varilla o un alambre delgado. Orientemos la varilla de forma que se alinee con el eje \(x\), con el extremo izquierdo de la varilla en \(x=a\) y el extremo derecho de la varilla en \(x=b\) (Figura \(\PageIndex{1}\)). Obsérvese que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional.

Dada una varilla delgada orientada a lo largo del eje \(x\) sobre el intervalo \([a,b]\), dejemos que \(ρ(x)\) denote una función de densidad lineal que da la densidad de la varilla en un punto \(x\) en el intervalo. Entonces la masa de la varilla viene dada por

Recordarás que teníamos una expresión similar a ésta cuando calculábamos los volúmenes por cáscaras. Al igual que hicimos allí, utilizamos \(x^∗_i≈(x_i+x_{i-1})/2\\Npara aproximar el radio medio de la arandela. Obtenemos

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Aplicación de problemas de integración y soluciones pdf

En este capítulo, utilizamos las integrales definidas para calcular la fuerza ejercida sobre la presa cuando el embalse está lleno y examinamos cómo los cambios en los niveles de agua afectan a esa fuerza. La fuerza hidrostática es sólo una de las muchas aplicaciones de las integrales definidas que exploramos en este capítulo. Desde las aplicaciones geométricas, como el área de la superficie y el volumen, hasta las aplicaciones físicas, como la masa y el trabajo, y los modelos de crecimiento y decadencia, las integrales definidas son una poderosa herramienta que nos ayuda a entender y modelar el mundo que nos rodea.

Acerca del autor

Jessica Fierro

Mi nombre es Jessica Fierro, soy amante y apasionada de la tecnología, es por eso que he decido compartir mis conocimientos y opiniones a través de este sitio web

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